У меня имеется небольшой вопрос. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (bn) с положительными членами, зная, что b2=0,04 и b4= 0,16.

Дано: (bn

) - геометрическая прогрессия;


b2

 = 0,04; b4

 = 0,16;


Найти: S

9



 - ?


 


Формула n-го члена геометрической прогрессии:


bn

 = b1

 * q^(n – 1),


где b1

 – первый член прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов;


Согласно этой формуле выразим второй, четвертый члены заданной прогрессии:


b2

 = b1

 * q^(2 – 1) = b1

 * q;


b4

 = b1

 * q^(4 – 1) = b1

 * q^3.


Составим систему уравнений:


b1

 * q = 0,04,               (1)


b1

 * q^3 = 0,16            (2)


Из (1) уравнения системы выразим b1

:


b1

 = 0,04 / q;


Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:


0,04 / q * q^3 = 0,16;


0,04 * q^2 = 0,16;


q^2 = 4;


q = ±2.


Сразу определяем, что из двух полученных, заданной прогрессии удовлетворяет положительное значение знаменателя, т.к. по условию геометрическая прогрессия (bn

) с положительными членами.


Подставляем полученное значение знаменателя прогрессии в выражение для нахождения первого члена:


b1

 = 0,04 / 2;


b1

 = 0,02.


Запишем формулу девятого члена прогрессии:


b9

 = b1

 * q^(9 – 1) = b1

 * q^8 = 0,02* 2^8 = 256.


Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:


Sn

 = (bn

 * q – b1

) / (q – 1),


т.о. S9

 = (b9

 * q – b1

) / (q – 1) = (256 * 2 – 0,02) / (2 – 1) = 511,98.


Ответ: S9

 = 511,98.