Я хотел бы задать вопрос. Есть ли слова "Играться" и "Играются"?

Да, такие слова в русском языке существуют. 


Играться — неопределенная форма глагола. В предложении чаще всего выступает в роли основной части составного сказуемого. 


Дети любили играться с мячом. 


Кот обожает играться с воздушным шариком. 


Но иногда "играться" бывает подлежащим. 


Играться — мое истинное удовольствие. 


Играются — глагол в несовершенном виде, в настоящем времени, относится к третьему лицу множественного числа. 


Малыши играются в песочнице и лепят куличики. 


Девочки играются с котенком.